【数学】海涛定理

\huge\textsf{海涛定理}

证明很简单：

考虑特殊情况，设抛物线为 $y=ax^2$ ，则顶点 $A\;(0,\;0)$

又设抛物线上一点 $P\;(x \;,\;ax^2)$ ，

作 $PB\perp y$ 轴，垂足为 $B$

则 $AB=ax^2,\;PB =x$

$\therefore \frac{AB}{PB^2}=\frac{ax^2}{x^2}=a.$

由于 $y=ax^2+bx+c$ 能由 $y=ax^2$ 平移得到，所以对于一切情况成立。

又由于线段的比值一定是正数， $a$ 不一定是正数，所以要给 $a$ 加上绝对值符号。

抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴只有一个交点，且经过点 $A(x,\;m),\;B(x+n,\;m) ,$ 则 $m$ 与 $n$ 的关系是？

此时点到对称轴垂线长度为 $\frac{n}{2}$ ，

因为抛物线与 $x$ 轴只有一个交点，所以顶点一定在 $x$ 轴上，$

则垂足到顶点的距离为垂足纵坐标的绝对值，也就是 $|m|$

$\therefore \frac{|m|}{(\frac{n}{2})^2}=|a|$ ，代入即可。注意m的正负性一定是跟a相同的。

b和c是多少不重要，因为抛物线无论怎么平移结论不变。

结论还可以推广到抛物线与 y=k（k为常数）只有一个交点的情况。

$\scriptsize\textsf{至于这位海涛是谁，平几纲目吧有人说叫曾海涛，反正我也不认识qwq}$

附录：

1.参考：这儿

2.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$

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