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【数学】三边相等的四边形与60度角

2020-02-25 14 min read # 【数学】

三边相等的四边形与60°角\Huge\textsf{三边相等的四边形与60}\degree\textsf{角}

解决题目的关键是：

看到两个已知角的和是60°60\degree的倍数，

就可以构造正三角形。

直接上题！

例<1>\Large\texttt{例<1>}

如图，AB=BC=CD,  ∠C=80°,  ∠B=160°,AB = BC = CD,\;\angle C=80\degree ,\;\angle B=160\degree ,求∠A.\angle A.

此题在我的这篇文章中已经介绍过了，但我还是把过程再来一遍。

解：

以CDCD为边向上作正三角形CEDCED，连接AEAE，则 AB=BC=CD=CE=EDAB = BC = CD = CE = ED

∠BCE=∠BCD−∠ECD=80°−60°=20°=180°−∠B,  ∴AB∥CE\angle BCE = \angle BCD - \angle ECD = 80\degree - 60\degree = 20\degree = 180\degree - \angle B ,\;\therefore AB \parallel CE

又∵AB=BC=CE,  ∴  \because AB = BC = CE,\;\therefore \;四边形ABCEABCE为菱形，∴AE=……=ED.\therefore AE = …… = ED .

∠AED=360°−∠AEC−∠CED=360°−160°−60°=140°\angle AED = 360\degree - \angle AEC - \angle CED = 360\degree - 160\degree - 60\degree = 140\degree

∴∠EAD=∠EDA=(180°−140°)/2=20°\therefore \angle EAD = \angle EDA = (180\degree - 140\degree)/2 = 20\degree

∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=20°+20°=40°.\therefore \angle BAD = \angle BAE + \angle EAD = 20\degree + 20\degree = 40\degree .

例<2>\Large\texttt{例<2>}

如图，AB=BC=CD,  ∠B=150°,∠C=90°,AB = BC = CD ,\;\angle B = 150\degree , \angle C = 90\degree ,求∠A.\angle A .

解：还是底边造正三角形。

同理ED=EC=DC=EA=AB=BC,  ∴ABCEED = EC = DC = EA = AB = BC ,\;\therefore ABCE为菱形，

∴∠AEC=∠B=150°,  ∠EAB=∠ECB=30°.\therefore \angle AEC = \angle B = 150\degree ,\;\angle EAB = \angle ECB = 30\degree .

∵∠AEC=150°,  ∠DEC=60°,  ∴∠AED=150°,\because \angle AEC = 150\degree , \;\angle DEC = 60\degree ,\;\therefore \angle AED = 150\degree ,

又∵EA=ED,  ∴∠EAD=∠EDA=15°.\because EA = ED,\;\therefore \angle EAD = \angle EDA = 15\degree .

∴∠A=∠DAE+∠BAE=15°+30°=45°.\therefore \angle A = \angle DAE + \angle BAE = 15\degree + 30\degree = 45\degree .

例<3>\Large\texttt{例<3>}

如图，AB=BC=CD,  ∠C=170°,∠B=70°,AB = BC = CD ,\;\angle C = 170\degree , \angle B = 70\degree ,求∠D.\angle D .

我猜我题目没念完你都算出来了。

好，有了三题，我们已经可以对这一种情况总结出通式了：

在凸四边形ABCDABCD中，AB=BC=CD,∠B+∠C=240°,AB=BC=CD,\angle B +\angle C = 240\degree ,则剩下两个角较小的一个为12∠B.\frac{1}{2} \angle B.

小拓展！\large\textsf{小拓展！}

第二题其实有一种更简单的做法:

如图，往左构造正方形DCBEDCBE，连接EA.EA.

∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°,  \angle ABE = \angle ABC - \angle EBC = 60\degree ,\;而AB=BC=BE,  ∴△ABEAB = BC = BE ,\;\therefore \triangle ABE为正三角形。

∴∠AED=60°+90°=150°,  \therefore \angle AED = 60\degree + 90\degree = 150\degree ,\;又因为AE=AD,  ∴∠EAD=∠EDA=15°,AE = AD ,\;\therefore \angle EAD = \angle EDA = 15\degree ,

∴∠DAB=∠EAB−∠EAD=60°−15°=45°.\therefore \angle DAB = \angle EAB - \angle EAD = 60\degree - 15\degree = 45\degree .

然而不通用pwp

但这也只是一种情况……

例<4>\Large\texttt{例<4>}

如图，CA=AB=BD,  ∠A=20°,∠B=100°,CA = AB = BD ,\;\angle A = 20\degree , \angle B = 100\degree ,求∠D.\angle D .

解：继续底边造等边三角形。造完以后，连接EC、ED。

易得AE=BE=AB=AC=BD,  ∠EAC=∠EAB−∠CAB=40°,AE = BE = AB = AC = BD ,\;\angle EAC = \angle EAB - \angle CAB = 40\degree ,

∴∠ACB=∠ABC=80°,  ∠ACE=∠AEC=70°,∠ECB=∠ACE+∠ACB=150°.\therefore \angle ACB = \angle ABC = 80\degree ,\;\angle ACE = \angle AEC = 70\degree ,\angle ECB = \angle ACE + \angle ACB = 150\degree .

∠DBE=∠ABD−∠ABE=40°,  ∠DBC=∠ABD−∠ABC=20°,  ∴∠DBC=∠EBC=20°\angle DBE = \angle ABD - \angle ABE = 40\degree ,\;\angle DBC = \angle ABD - \angle ABC = 20 \degree ,\;\therefore \angle DBC = \angle EBC = 20\degree

又∵EB=DB,  CB\because EB = DB ,\;CB为公共边，∴△CBE≅△CBD  (SAS)\therefore \triangle CBE \cong \triangle CBD \;(SAS)

∴∠DCB=∠ECB=150°,  ∠ECD=360°−∠DCB−∠ECB=60°.\therefore \angle DCB = \angle ECB = 150\degree ,\;\angle ECD = 360\degree - \angle DCB - \angle ECB =60\degree .

又∵EC=DC,  ∴△ECD\because EC = DC ,\;\therefore \triangle ECD为等边三角形,  ∴∠EDC=60°.,\;\therefore \angle EDC = 60\degree .

∴∠CDB=∠EDB−∠EDC=10°.\therefore \angle CDB = \angle EDB - \angle EDC = 10\degree .

例<5>\Large\texttt{例<5>}

如图，AB=BC=CD,  ∠C=10°,∠B=110°,AB = BC = CD ,\;\angle C = 10\degree , \angle B = 110\degree ,求∠D.\angle D .

我都懒得描述辅助线了。你们猜猜辅助线是什么？

解：还是底边造等边三角形。造完以后，仍然连接EA、ED。

同理可以得∠EDB=150°,  ∴△EDB≅△ADB  (SAS),  \angle EDB = 150\degree ,\;\therefore \triangle EDB \cong \triangle ADB \;(SAS),\;

△ECD\triangle ECD为等边三角形,  ∠DAB=∠EAB−∠EAD=5°.,\;\angle DAB = \angle EAB - \angle EAD = 5\degree .

于是我们出了第二个通式：

在凹四边形ABCDABCD中，AB=BC=CD,∠B+∠C=120°,AB=BC=CD,\angle B +\angle C = 120\degree ,则剩下的锐角为12∠C.\frac{1}{2} \angle C.

看累了？来张图洗洗眼睛吧awa

不急，我们没完呢！

例<5>\Large\texttt{例<5>}

如图，AB=BC=CD,  ∠C=70°,∠B=50°,AB = BC = CD ,\;\angle C = 70\degree , \angle B = 50\degree ,求∠D.\angle D .

你体验过一招打遍天下的快感嘛？

解：依然是底边造等边三角形。造完以后，连接EC。

则AE=BE=AB=BC=CD,  ∠EBC=∠EBA−∠CBA=10°.AE = BE = AB = BC = CD ,\;\angle EBC = \angle EBA - \angle CBA = 10\degree.

∴∠AFB=∠FEB+∠FBE=60°+10°=70°=∠DCB,  ∴CD∥EA,  \therefore \angle AFB = \angle FEB + \angle FBE = 60\degree + 10\degree = 70\degree = \angle DCB ,\;\therefore CD \parallel EA ,\;

∠BCE=∠BEC=85°,  ∴∠DCE=155°.\angle BCE = \angle BEC = 85\degree ,\;\therefore \angle DCE = 155\degree .

又∵CD=EA,  ∴CDAE  \because CD = EA ,\;\therefore CDAE\; 是平行四边形！

∴∠D+∠ACE=180°,  ∠D=25°!\therefore \angle D +\angle ACE = 180\degree ,\;\angle D = 25\degree !

例<6>\Large\texttt{例<6>}

如图，AB=BC=CD,  ∠C=80°,∠B=40°,AB = BC = CD ,\;\angle C = 80\degree , \angle B = 40\degree ,求∠D.\angle D .

在洛谷，享受切题的乐趣！

解：仍然是底边造等边三角形。造完以后，连接EC。

同理得∠DCE=160°,  DCEA  \angle DCE = 160\degree ,\;DCEA \; 为平行四边形，∠D=180°−∠DCE=20°.\angle D = 180\degree - \angle DCE = 20\degree .

出现了！第三个通式！

在凹四边形ABCDABCD中，AB=BC=CD,∠B+∠C=120°,AB=BC=CD,\angle B +\angle C = 120\degree ,则剩下的锐角为12∠B.\frac{1}{2} \angle B.

我们还可以继续！

例<7>\Large\texttt{例<7>}

如图，AB=BC=CD,  EAB = BC = CD ,\;E为ACAC、BDBD交点，∠AEB=60°,  \angle AEB = 60\degree ,\;求证：EA=ED.EA = ED.

依旧是造正三角形，只不过这题如何构造比较不容易想到。

法<1>\large\texttt{法<1>}

向右构造正三角形AEFAEF，易得E,B,FE,B,F共线。

设∠EAB=∠ECB=α,  ∠BDC=∠DBC=β.\angle EAB = \angle ECB = \alpha ,\;\angle BDC = \angle DBC = \beta.

在△BEC\triangle BEC 中，∠ECB+∠EBC=∠AEB\angle ECB + \angle EBC = \angle AEB，即α+β=∠AEB=60°;\alpha + \beta = \angle AEB = 60\degree ;

而∠EAB+∠FAB=∠EAF\angle EAB + \angle FAB = \angle EAF，即α+∠BAF=60°,  ∴∠BAF=β.\alpha + \angle BAF = 60\degree ,\;\therefore \angle BAF = \beta .

∠FAB=∠EDC=β,  BA=CD,  ∠F=∠DEC=60°,  ∴△FAB≅△EDC,\angle FAB = \angle EDC =\beta ,\;BA = CD ,\; \angle F = \angle DEC = 60\degree ,\; \therefore \triangle FAB \cong \triangle EDC ,

∴EA=AE=ED.\therefore EA = AE = ED . 得证。

法<2>\large\texttt{法<2>}

我这次向内构造两个正三角形△CEF\triangle CEF和△BEG,\triangle BEG ,

同理倒角，可得△GAB≅△FCD,\triangle GAB \cong \triangle FCD ,

∴EA=AG+GE=AG+GB=FC+DF=FE+DF=DE.\therefore EA = AG + GE = AG + GB = FC + DF = FE + DF = DE .得证。

其实这里还有一对全等△DFC≅△BEC\triangle DFC \cong \triangle BEC，但是没用上。

小拓展！\large\texttt{小拓展！}

脱离正三角形了哦qwq

如图，AB=BC=CD,  EAB = BC = CD ,\;E为ACAC、BDBD交点，∠AEB=45°,  \angle AEB = 45\degree ,\;求证：BD=2AE.BD = \sqrt{2}AE.

你一看到六十度变成了45度，该构造啥?

其实把正三角形换成等腰直角三角形就可以啦awa

解：向右构造等腰直角三角形AEFAEF，易得E,B,FE,B,F共线；作GC⊥BDGC\perp BD于DD.

设∠EAB=∠ECB=α,  ∠BDC=∠DBC=β.\angle EAB = \angle ECB = \alpha ,\;\angle BDC = \angle DBC = \beta.

在△BEC\triangle BEC中，∠ECB+∠EBC=∠AEB\angle ECB + \angle EBC = \angle AEB，即α+β=∠AEB=45°;\alpha + \beta = \angle AEB = 45\degree ;

而∠EAB+∠FAB=∠EAF\angle EAB + \angle FAB = \angle EAF，即α+∠BAF=45°,  ∴∠BAF=β.\alpha + \angle BAF = 45\degree ,\;\therefore \angle BAF = \beta .

∠FAB=∠GBC=β,  BA=CB,  ∠F=∠CGB=90°,  ∴△FAB≅△GBC,  ∴AF=BG.\angle FAB = \angle GBC =\beta ,\;BA = CB ,\; \angle F = \angle CGB = 90\degree ,\; \therefore \triangle FAB \cong \triangle GBC ,\;\therefore AF = BG.

由于三线合一，$ DG = BG = AF.$

EA=2AF,  BD=2BF,  ∴BD=2AE.EA = \sqrt{2} AF,\;BD = 2BF ,\;\therefore BD = \sqrt{2}AE. 得证。

另一种方法同理。

这里没用上的全等就有用了！

△DGC≅△BEC,  ∴BE=DG,\triangle DGC \cong \triangle BEC ,\;\therefore BE = DG,

∴AE=AF+FE=GC+2BE=22(GE+2BE)=22BD.\therefore AE = AF + FE = GC + \sqrt{2}BE = \frac{\sqrt{2}}{2}(GE + 2BE) = \frac{\sqrt{2}}{2} BD .

总结：

总结起来就是遇到两个角和是60°\degree的倍数的时候就作正三角形吧。

为什么是60°\degree的倍数的时候作正三角形，我猜这样才能和正三角形挂钩。

至于结论为什么都是二倍角，就不得而知了，可能只是巧合。

附录：

1.画图软件：Desmos
（ 几何区 ）

2.参考资料：暂时没在网络上找到相应资料

3.转载请注明出处 （虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}

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