三边相等的四边形与60°角
解决题目的关键是:
看到两个已知角的和是60°的倍数,
就可以构造正三角形。
直接上题!
例<1>
如图,AB=BC=CD,∠C=80°,∠B=160°,求∠A.
此题在我的这篇文章中已经介绍过了,但我还是把过程再来一遍。
解:
以CD为边向上作正三角形CED,连接AE,则 AB=BC=CD=CE=ED
∠BCE=∠BCD−∠ECD=80°−60°=20°=180°−∠B,∴AB∥CE
又∵AB=BC=CE,∴四边形ABCE为菱形,∴AE=……=ED.
∠AED=360°−∠AEC−∠CED=360°−160°−60°=140°
∴∠EAD=∠EDA=(180°−140°)/2=20°
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=20°+20°=40°.
例<2>
如图,AB=BC=CD,∠B=150°,∠C=90°,求∠A.
解:还是底边造正三角形。
同理ED=EC=DC=EA=AB=BC,∴ABCE为菱形,
∴∠AEC=∠B=150°,∠EAB=∠ECB=30°.
∵∠AEC=150°,∠DEC=60°,∴∠AED=150°,
又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA=15°.
∴∠A=∠DAE+∠BAE=15°+30°=45°.
例<3>
如图,AB=BC=CD,∠C=170°,∠B=70°,求∠D.
我猜我题目没念完你都算出来了。
好,有了三题,我们已经可以对这一种情况总结出通式了:
在凸四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠B+∠C=240°,则剩下两个角较小的一个为21∠B.
小拓展!
第二题其实有一种更简单的做法:
如图,往左构造正方形DCBE,连接EA.
∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°,而AB=BC=BE,∴△ABE为正三角形。
∴∠AED=60°+90°=150°,又因为AE=AD,∴∠EAD=∠EDA=15°,
∴∠DAB=∠EAB−∠EAD=60°−15°=45°.
然而不通用pwp
但这也只是一种情况……
例<4>
如图,CA=AB=BD,∠A=20°,∠B=100°,求∠D.
解:继续底边造等边三角形。造完以后,连接EC、ED。
易得AE=BE=AB=AC=BD,∠EAC=∠EAB−∠CAB=40°,
∴∠ACB=∠ABC=80°,∠ACE=∠AEC=70°,∠ECB=∠ACE+∠ACB=150°.
∠DBE=∠ABD−∠ABE=40°,∠DBC=∠ABD−∠ABC=20°,∴∠DBC=∠EBC=20°
又∵EB=DB,CB为公共边,∴△CBE≅△CBD(SAS)
∴∠DCB=∠ECB=150°,∠ECD=360°−∠DCB−∠ECB=60°.
又∵EC=DC,∴△ECD为等边三角形,∴∠EDC=60°.
∴∠CDB=∠EDB−∠EDC=10°.
例<5>
如图,AB=BC=CD,∠C=10°,∠B=110°,求∠D.
我都懒得描述辅助线了。你们猜猜辅助线是什么?
解:还是底边造等边三角形。造完以后,仍然连接EA、ED。
同理可以得∠EDB=150°,∴△EDB≅△ADB(SAS),
△ECD为等边三角形,∠DAB=∠EAB−∠EAD=5°.
于是我们出了第二个通式:
在凹四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠B+∠C=120°,则剩下的锐角为21∠C.
看累了?来张图洗洗眼睛吧awa
不急,我们没完呢!
例<5>
如图,AB=BC=CD,∠C=70°,∠B=50°,求∠D.
你体验过一招打遍天下的快感嘛?
解:依然是底边造等边三角形。造完以后,连接EC。
则AE=BE=AB=BC=CD,∠EBC=∠EBA−∠CBA=10°.
∴∠AFB=∠FEB+∠FBE=60°+10°=70°=∠DCB,∴CD∥EA,
∠BCE=∠BEC=85°,∴∠DCE=155°.
又∵CD=EA,∴CDAE 是平行四边形!
∴∠D+∠ACE=180°,∠D=25°!
例<6>
如图,AB=BC=CD,∠C=80°,∠B=40°,求∠D.
在洛谷,享受切题的乐趣!
解:仍然是底边造等边三角形。造完以后,连接EC。
同理得∠DCE=160°,DCEA 为平行四边形,∠D=180°−∠DCE=20°.
出现了!第三个通式!
在凹四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠B+∠C=120°,则剩下的锐角为21∠B.
我们还可以继续!
例<7>
如图,AB=BC=CD,E为AC、BD交点,∠AEB=60°,求证:EA=ED.
依旧是造正三角形,只不过这题如何构造比较不容易想到。
法<1>
向右构造正三角形AEF,易得E,B,F共线。
设∠EAB=∠ECB=α,∠BDC=∠DBC=β.
在△BEC 中,∠ECB+∠EBC=∠AEB,即α+β=∠AEB=60°;
而∠EAB+∠FAB=∠EAF,即α+∠BAF=60°,∴∠BAF=β.
∠FAB=∠EDC=β,BA=CD,∠F=∠DEC=60°,∴△FAB≅△EDC,
∴EA=AE=ED. 得证。
法<2>
我这次向内构造两个正三角形△CEF和△BEG,
同理倒角,可得△GAB≅△FCD,
∴EA=AG+GE=AG+GB=FC+DF=FE+DF=DE.得证。
其实这里还有一对全等△DFC≅△BEC,但是没用上。
小拓展!
脱离正三角形了哦qwq
如图,AB=BC=CD,E为AC、BD交点,∠AEB=45°,求证:BD=2AE.
你一看到六十度变成了45度,该构造啥?
其实把正三角形换成等腰直角三角形就可以啦awa
解:向右构造等腰直角三角形AEF,易得E,B,F共线;作GC⊥BD于D.
设∠EAB=∠ECB=α,∠BDC=∠DBC=β.
在△BEC中,∠ECB+∠EBC=∠AEB,即α+β=∠AEB=45°;
而∠EAB+∠FAB=∠EAF,即α+∠BAF=45°,∴∠BAF=β.
∠FAB=∠GBC=β,BA=CB,∠F=∠CGB=90°,∴△FAB≅△GBC,∴AF=BG.
由于三线合一,$ DG = BG = AF.$
EA=2AF,BD=2BF,∴BD=2AE. 得证。
另一种方法同理。
这里没用上的全等就有用了!
△DGC≅△BEC,∴BE=DG,
∴AE=AF+FE=GC+2BE=22(GE+2BE)=22BD.
总结:
总结起来就是遇到两个角和是60°的倍数的时候就作正三角形吧。
为什么是60°的倍数的时候作正三角形,我猜这样才能和正三角形挂钩。
至于结论为什么都是二倍角,就不得而知了,可能只是巧合。
附录:
1.画图软件:Desmos
( 几何区 )
2.参考资料:暂时没在网络上找到相应资料
3.转载请注明出处 (虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD)