$\Huge\texttt{《平几纲目》553题}$

$\textsf{如图，}\triangle ABC \textsf{中，}BD=3,\space CD = 2,\space AD \perp BC,\space \angle BAC = 45\degree ,\textsf{求}AD.$

$\textsf{想必大家不一会儿就能算出结果。}$

$\textsf{但终点不在此：}$

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$\Large\textsf{此题有}$

$\huge\texttt{39种解法}$

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$\large\textsf{江湖人称：}\color{#005C97}\textsf{万 法 归 宗，醍 醐 灌 顶}$

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$\textsf{我这个小菜鸡只做出了8种做法，是最好想出来的几种，在此与大家分享。}$

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$$

$\Large\texttt{法<1>}$

$\textsf{因为不用辅助线所以没有图。}$

$\textsf{设}AD = x,\textsf{勾股定理得}AB = \sqrt{x^2+9},\space AC = \sqrt{x^2+4}$

$\textsf{由于三角形面积等于两边乘积乘上夹角的正弦值的一半}$

$\textsf{也等于底乘高的一半}$

$\textsf{就可以列出方程：}\frac{1}{2}\sqrt{x^2+9} ×\sqrt{x^2+4} × sin 45\degree =\frac{(3+2)x}{2}$

$\textsf{解得}x_1=6,x_2=1.$

$\textsf{但是}x=1\textsf{很明显是取不到的，可以通过余弦定理算出}\angle BAC = 135 \degree .$

$\large \therefore AD = 6.$

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$\textsf{那为什么会有}x=1 \textsf{这个结果呢？}$

$\sout\textsf{我们在小学二年级就学过诱导公式，可以得知 sin 135\degree = sin 45 \degree}$

$\textsf{也就是说，在乘上sin 45\degree时等同于乘上 sin 135\degree}$

$\textsf{所以会有这个结果}$

$\tiny\color{grey}\textsf{“小学二年级”是毕导的梗啦，快来素质三连}$

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$\Large\texttt{法<2>}$

$\textsf{将}\triangle ABD \textsf{沿}AB\textsf{翻折至}\triangle ABE ,\;\textsf{将}\triangle ACD \textsf{沿}AC\textsf{翻折至}\triangle ACF ,$

$\textsf{延长}EB\textsf{、}FC\textsf{交于点}G$

$\textsf{则}BE = BD = 3,\;CF = CD = 2 ,\;AE = AF = AD ,\;\angle EAF = 2\angle BAC = 90\degree$

$\textsf{易得四边形}AEGF\textsf{为正方形}$

$\textsf{设}AD = x,\;\textsf{则}AE = AF = EG = FG = x,\;BG = EG - EB = x-3,\;CG = FG - FC = x-2$

$\textsf{勾股定理得}BC^2=BG^2+CG^2,\;\therefore (x-3)^2+(x-2)^2=5^2$

$\large \textsf{解得}x = 6,\;\textsf{即}AD = 6 .$

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$$

$\Large\texttt{法<3>}$

$\textsf{作}CE \perp AB \textsf{于}E\textsf{交}AD\textsf{于}F$

$\textsf{则}\triangle AEC \textsf{为等腰直角三角形}$

$\textsf{易得}\triangle AEF \cong \triangle CEB \;(AAS\textsf{或}ASA)$

$\therefore AF = BC = 5,\;BE = EF$

$\textsf{之后有两种思路：}$

$(1)\textsf{连接}BF\textsf{、}CF ,\;\textsf{用法1的思路得出}FD = 1,\;\textsf{则}AD = AF + FD = 5+1 =6.$

$\tiny\textsf{其实}\triangle BFC\textsf{就是法1中算出}AD = 1\textsf{时三角形的样子}$

$(2)\textsf{设}BE = EF = x$

$\textsf{勾股定理得}AE = EC = \sqrt{BC^2-EB^2}=\sqrt{25-x^2}$

$\therefore FC = EC - EF = \sqrt{25-x^2}-x$

$\textsf{易得}\triangle EBC \sim \triangle DFC\;(AA)$

$\therefore \frac{EC}{BC} = \frac{DC}{FC}$

$\textsf{即}\frac{\sqrt{25-x^2}}{5} = \frac{2}{\sqrt{25-x^2}-x}$

$\textsf{解得}x_1 = \sqrt5,\;x_2 = \frac{3\sqrt{10}}{2}\tiny\textsf{（相信我，能解开的）}$

$\textsf{由于直角三角形斜边大于直角边，舍去}x_2,\;\therefore x=\sqrt{5} .$

$\large\textsf{易得}AD = 6.$

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$\Large\texttt{法<4>}$

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$$

$\Large\texttt{法<5>}$

$$

$\Large\texttt{法<6>}$

$$

$\Large\texttt{法<7>}$

$$

$\Large\texttt{法<8>}$

未完