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$\Huge\textsf{三角形内接平行四边形问题}$

如图，$\triangle$ABC中有平行四边形DECF，

设$S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDF}=S_2,\;$

求证：$1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2;\;2.S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2}.$

$\textsf{证：}$

$(1) \because DE \parallel BC$

$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$

$\therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD^2}{AB^2}$

$\textsf{即}\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD}{AB}$①

$\textsf{同理}\triangle BDF \sim \triangle BAC ,\;\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{BD}{AB}$②

①+②$\textsf{得}\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{AD+BD}{AB}$

$\textsf{又}\because AD+BD =AB$

$\therefore \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}=\sqrt{S_{\triangle ABC}},$

$(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2=S_{\triangle ABC}.$

$\textsf{得证。}$

$(2)S_{DECF}=S_{\triangle ABC}-S_1-S_2$

$=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2-S_1-S_2$

$=S_1+2\sqrt{S_1S_2}+S_2-S_1-S_2$

$=2\sqrt{S_1S_2}$.

$\textsf{得证。}$

别急，没完呢。

如图，$\triangle$ABC中有平行四边形DEFG，

设$S_{\triangle ADE}=S_1,\;S_{\triangle BDG}=S_2,\;S_{\triangle CEF}=S_3,\;$

求证：$1.S_{\triangle ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2+S_3})^2;\;2.S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3.$

$\textsf{其实这题和上一道题是同一题！}$

$\textsf{我们只要把}\triangle CEF\textsf{向左平移：}$

$\textsf{就出来了。}$

$\textsf{第一问同理，不多说。}$

$\textsf{至于第二问，我们有上一问的结论：}S_{DECF}=2\sqrt{S_1S_2}$

$\textsf{那么到了这一问就是}S_{DECF}=2\sqrt{S_1(S_2+S_3)}$

$\textsf{而众所周知}2\sqrt{ab}\leq a+b\tiny\textsf{（不知道的自行百度“均值不等式”）}$

$\therefore 2\sqrt{S_1(S_2+S_3)}\leq S_1+S_2+S_3$

$\textsf{即}S_{DEFG}\le S_1+S_2+S_3.$

从此考试中此类题型的填空选择口算啦awa

附录：

1.画图软件：Desmos （ 几何区 ）

2.参考资料：暂时没在网络上找到相应资料

3.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$