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$\Huge\textsf{两根距离公式}$

之前我们讲过了两根距离公式，

现在我们要算出一条抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=kx+t$两个交点间的距离。

怎么办呢？

设两交点$A,B$

则$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

$=\sqrt{(x_A-x_B)^2+[(kx_A+t)-(kx_B+t)]^2}$

$=\sqrt{(x_A+x_B)^2+k^2(x_A-x_B)^2}$

$=\sqrt{(1+k^2)(x_A-x_B)^2}$

$=\sqrt{1+k^2}\;|x_A-x_B|$

然后就可以代入两根距离公式：

原式 $=\sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{a}.$

当然，前提是$\Delta \geq 0,\;a \neq 0,k\neq 0 .$

注意这里的$\Delta$是 两解析式联立以后 的判别式。

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