【数学】铅垂线法的加速

\huge\textsf{【铅垂线法的加速】}

想必大家都做过这样的题目：

方法是铅锤线法：

先求蓝色直线解析式，然后与抛物线解析式相减，求出高度差最大值，最后计算出面积最大值。

但是如果善用数学归纳法，就能发现：

三角形第三个顶点的横坐标与抛物线与直线两交点的中点的横坐标相等时，面积最大。

设抛物线： $y_1=a(x-m)(x-n)=ax^{2}-a(m+n)x+amn$

不妨设 $n>m,\;$ 则抛物线与x轴两交点坐标为 $(m,0),\;(n,0),\;$ 与y轴交点坐标为 $(amn,0).$

易得蓝色直线解析式： $y_2=-amx+amn$

$\therefore |y_2 - y_1| = |ax^{2}-a(m+n)x+amn-(-amx+amn)|$

$= | ax^{2}-amx-anx+amn+amx-amn |$

$= | ax^{2}-anx| $

$= | ax(x-n)|$

$\therefore$ 当 $x=\frac{0+n}{2}=\frac{n}{2},\;$ 即 $x$ 等于抛物线与直线两交点中点的横坐标时，面积最大。

考场不能直接用结论，但是可以用来验算。所以该铅锤还得铅锤。

图中为直线与抛物线一交点是抛物线与y轴交点的情况，最为常见，

如果交点不在y轴上结论也成立，只不过我没时间+太懒QWQ

附录：

1.画图软件：Desmos
（函数区）

2.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$

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