【铅垂线法的加速】
想必大家都做过这样的题目:
方法是铅锤线法:
先求蓝色直线解析式,然后与抛物线解析式相减,求出高度差最大值,最后计算出面积最大值。
但是如果善用数学归纳法,就能发现:
三角形第三个顶点的横坐标 与 抛物线与直线两交点的中点的横坐标相等时,面积最大。
设抛物线:y1=a(x−m)(x−n)=ax2−a(m+n)x+amn
不妨设 n>m, 则抛物线与x轴两交点坐标为(m,0),(n,0), 与y轴交点坐标为 (amn,0).
易得蓝色直线解析式:y2=−amx+amn
∴∣y2−y1∣=∣ax2−a(m+n)x+amn−(−amx+amn)∣
=∣ax2−amx−anx+amn+amx−amn∣
$= | ax^{2}-anx| $
=∣ax(x−n)∣
∴ 当 x=20+n=2n, 即 x 等于 抛物线与直线两交点中点的横坐标 时,面积最大。
考场不能直接用结论,但是可以用来验算。所以该铅锤还得铅锤。
图中为 直线与抛物线一交点是抛物线与y轴交点 的情况,最为常见,
如果交点不在y轴上结论也成立,只不过我没时间+太懒QWQ
附录:
1.画图软件:Desmos
( 函数区 )
2.转载请注明出处 (虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD)