ADH's Blog！

(>ڡ< )⭐

首页 标签 关于

【数学】三次根式问题

2020-03-16 14 min read # 【数学】

三次根式问题\Huge\textsf{三次根式问题}

前置知识！

1.abn=an∗bn1.\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}

2.a3+b3=(a+b)(a2−ab+b3),2.a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^3),

      a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\;\;\;a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

3.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,3.(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,

      (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\;\;\;(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

注：本文的所有数字和未知数 在实数范围 内。

方法：设三次根号的部分为未知数，然后列方程。

例<1>\texttt{例<1>}

解方程：x+453−x−163−1=0.\sqrt[3]{x+45} - \sqrt[3]{x-16}-1=0.

解：设x+453=a,x−163=b\sqrt[3]{x+45} = a,\sqrt[3]{x-16} = b

则{a−b=1(1)a3−b3=61(2)\begin{cases}a-b=1(1)\\a^3-b^3=61(2)\end{cases}

由(2)(2)得(a−b)(a2+ab+b2)=61(a-b)(a^2+ab+b^2)=61,

代入(1)(1)得a2+ab+b2=61,a^2+ab+b^2 =61,

(a−b)2+3ab=61,(a-b)^2+3ab=61,

再次代入得3ab=60,ab=20.3ab = 60,ab=20.

与(1)(1)联立解得a1=5,a2=−4,a_1=5,a_2=-4,

∴x1=80,x2=−109.\therefore x_1=80,x_2=-109.

例<2>\texttt{例<2>}

化简：2−53.\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}.

解：设2−53=a,2+53=b,a+b=k\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = a,\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} = b,a+b=k

则{a3+b3=4(1),ab=−1(2)\begin{cases}a^3+b^3=4(1),\\ab=-1(2)\end{cases}

由(1)(1)得(a+b)(a2−ab+b2)=4,(a+b)(a^2-ab+b^2)=4,

代入(2)(2)得(a+b)(a2+b2+1)=4,(a+b)(a^2+b^2+1) =4,

(a+b)[(a+b)2−2ab+1]=4,(a+b)[(a+b)^2-2ab+1]=4,

k[k2+3]=4,k[k^2+3]=4,

k3+3k−4=0,k^3+3k-4=0,

(k−1)(k2+k+4)(k-1)(k^2+k+4)

k2+k+4k^2+k+4无实数根，所以k=1,k=1,即a+b=1.a+b=1.

∴{ab=−1,a+b=1,\therefore \begin{cases}ab=-1,\\a+b=1,\end{cases}

解得a=1±52,a=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2},

由原式得a<0,∴a=1−52a<0,\therefore a=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

∴2−53=1−52.\therefore \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.

例<3>\texttt{例<3>}

解方程：x+737+x+73x=167x3\dfrac{\sqrt[3]{x+7}}{7}+\dfrac{\sqrt[3]{x+7}}{x}=\dfrac{16}{7}\sqrt[3]{x}.

解：两边同乘7x7x得，xx+73+7x+73=16xx3,x\sqrt[3]{x+7}+7\sqrt[3]{x+7}=16x\sqrt[3]{x},

(x+7)x+73=16xx3(x+7)\sqrt[3]{x+7} = 16x\sqrt[3]{x}

设x+73=a,x3=b,\sqrt[3]{x+7} = a,\sqrt[3]{x} = b,

则a3⋅a=16b3⋅b,a^3\cdot a = 16b^3\cdot b,

a4=16b4,a=±2b,a^4 =16b^4,a=\pm2b,

因为a≥0,∴a=2b.a\geq 0,\therefore a=2b.

∴x+73=2x3,\therefore \sqrt[3]{x+7} = 2\sqrt[3]{x},

x+7=8x,x+7 = 8x,

x=1.x=1.

例<4>\texttt{例<4>}

解方程：x41−x+x23+x−1−x2=0.(x>0)\dfrac{x^4}{\sqrt[3]{1-x + x^2}}+ x-1-x^2 =0.(x>0)

解：x41−x+x23−(1−x+x2)=0.\dfrac{x^4}{\sqrt[3]{1-x + x^2}}- (1-x + x^2 ) =0.

设1−x+x23=a,\sqrt[3]{1-x + x^2} =a,

则 x4a−a3=0,\dfrac{x^4}{a}-a^3=0,

x4−a4=0,x^4-a^4=0,

x=±a.x=\pm a.

∵x>0,∴x=a.\because x>0 ,\therefore x=a.

∴1−x+x23=x,\therefore \sqrt[3]{1-x + x^2}= x, 易得x=1.x=1.

看累了？洗洗眼睛吧qwq

图片来源于pixiv illustration，所以不知道作者QWQ

例<5>\texttt{例<5>}

解方程：x3=3+9+x.\sqrt[3]{x} = \sqrt{3+\sqrt{9+x}}.

解：设x3=a,9+x=b,\sqrt[3]{x} =a,\sqrt{9+x}=b,

则{a=3+b  ⇒a2=b+3,      (1)b2−a3=9  ⇒a3=(b+3)(b−3)    (2)\begin{cases} a=\sqrt{3+b}\;\Rightarrow a^2 = b+3,\;\qquad\quad \;\;(1)\\b^2 - a^3 = 9\;\Rightarrow a^3 =(b+3)(b-3)\;\;(2) \end{cases}

(1)(1)代入(2)(2)得，

a3=a2(b−3),a=b−3    (3)a^3 =a^2(b-3),a=b-3\qquad\qquad\qquad\;\;(3)

(1)−(3)(1)-(3)得，

a2−a−6=0,a1=−2,a2=3.a^2 -a -6 =0,a_1 = -2,a_2 = 3.

∵a=3+9+x≥0,  ∴a=3,x=27.\because a = \sqrt{3+\sqrt{9+x}} \geq 0,\;\therefore a=3,x=27.

例<6>\texttt{例<6>}

设a=43+23+1,a=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1,求3a+3a2+1a3.\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}.

解：∵a=43+23+1\because a=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1

=(23)2+23+1,=(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1,

∴(23−1)a=(23−1)[(23)2+23+1]\therefore (\sqrt[3]{2}-1)a=(\sqrt[3]{2}-1)[(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1]

=2+(23)2+23−(23)2−23−1=2+(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}-(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}-1

=2−1=1.=2-1=1.

这谁tm能想得到啊\scriptsize\sout\textsf{这谁tm能想得到啊}

∴(23−1)a=1,1a=23−1.\therefore (\sqrt[3]{2}-1)a =1,\dfrac{1}{a} =\sqrt[3]{2}-1.

∴3a+3a2+1a3\therefore \dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{a^3}

=3∗(23−1)+3∗(23−1)2+(23−1)3=3*(\sqrt[3]{2}-1)+3*(\sqrt[3]{2}-1)^2+(\sqrt[3]{2}-1)^3

暴算，原式=1.=1.

例<7>\texttt{例<7>}

化简：143+63+93.\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}.

解：设33=a,23=b\sqrt[3]{3}=a,\sqrt[3]{2}=b

则a3−b3=1,a^3-b^3=1,

(a−b)(a2+ab+b2)=1.(a-b)(a^2+ab+b^2)=1.

原式=1(23)2+23∗33+(33)2\dfrac{1}{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2}

=1a2+ab+b2=\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}

=a3−b3a2+ab+b2=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}

=a−b=33−23.=a-b=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.

例<8>\texttt{例<8>}

计算：5+2133+5−2133.\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}.

这题你要是分别计算就麻烦了。

设5+2133+5−2133=x,\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}=x,

则x3=(5+2133+5−2133)3x^3=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})^3

=(5+2133)3+35+2133∗(5−2133)2+3(5+2133)2∗5−2133+(5−2133)3=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}})^3+3\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}*(\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})^2+3(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}})^2*\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}+(\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})^3

=5+213+35+2133⋅5−2133(5+2133+5−2133)+5−213=5+2\sqrt{13}+3\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}\cdot\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})+5-2\sqrt{13}

=10+3−273(5+2133+5−2133)=10+3\sqrt[3]{-27}(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}})

=10−9x.=10-9x.

∴x3=10−9x,\therefore x^3=10-9x,

x3+9x−10=0,x^3+9x-10=0,

(x−1)(x2+x+10)=0.(x-1)(x^2+x+10)=0.

(x2+x+10)(x^2+x+10)无实数根，∴x=1.\therefore x=1.

虽然也挺麻烦的\scriptsize\sout\textsf{虽然也挺麻烦的}

柿柿看！

1.1.解方程：5+x3−4−x3=3.\sqrt[3]{5+x}-\sqrt[3]{4-x}=3.

2.2.化简：10+633.\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}.

3.3.计算：20+1423+20−1423.\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}.

4.4.计算：−1+−98273+5−1+−98273.(大 毒 瘤\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{-98}{27} }}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{-98}{27} }}}.\scriptsize\sout\textsf{(大 毒 瘤}

参考：

西瓜营销号：@余老师微课堂，@远舟数学课堂，@邹老师数学课堂，@吕氏数学，等等；

与一元三次方程有关的化简;

一类三次根式化简的两种方法。

转载请注明出处

说句闲话，做营销号的也有好人，不是所有营销号都盗取视频牟取私利的，不要看到营销号就无脑喷好吧。

Powered by Gridea RSS