ADH's Blog！

$\Huge\textsf{三角函数}$

---

$$

$\large\texttt{Chapter 1.}$ 特殊的三角函数值

本章节不允许使用初中范围外的知识！

$$

例1：求$\tan 15 \degree .$

这是经典题了，方法就是作$30 \degree .$

易得 $\tan 15 \degree$ = $2 - \sqrt{3}.$

---

$$

例2：求$\tan 22.5 \degree .$

有了第一题，这一题也很简单啦awa

易得 $\tan 22.5 \degree$ = $\sqrt{2} - 1 .$

---

$$

例3：求$\cos 36 \degree$、$\cos 72 \degree.$

众所周知，顶角或底角为$36\degree$的等腰三角形，

都可以用一条线段分成一个顶角为$36\degree$的等腰三角形和一个底角为$36\degree$的等腰三角形。

我们就构造一个底角为$36\degree$的等腰三角形$\triangle ABC$，然后作出这条线段$AD$，设他为x。

然后设$AB = kx$，则$AC = DC = kx$；

$\triangle ABD \sim \triangle CBA ,\;\therefore BC = k^{2}x ,\;DC = BC - BD = k^{2}x - x.$

$\therefore k^{2}x - x = kx,\;$解得$k = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$

之后就是两条垂线的事啦awa

最终$\cos 36 \degree =\dfrac{\sqrt{5}+1}{4},\;\cos 72 \degree = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.$

---

$\large\texttt{小拓展！}$

黄金分割比$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，我们用$\Phi$ 表示。

顶角为 $36\degree$ 的等腰三角形中，三边之比为 $\Phi:\Phi:1$ ，这就是它为什么叫“黄金三角形”awa

底角为 $36\degree$ 的等腰三角形中，三边之比为 $1:1:\Phi$ ，平几大典的编辑给它起了个名字“白金三角形”qwq

---

$$

$\large\texttt{Chapter 2.}$ 三角函数的特殊题目

$$

例5：

证明$\sin 10\degree$ 为无理数。

各位都知道有个二倍角公式，

但你知道三倍角公式吗？

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha - 4\sin^3\alpha$

$\therefore 3\sin 10\degree - 4\sin^3 10\degree = sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$

$- 8\sin^3 10\degree +6\sin 10\degree -1 =0$

设$2\sin 10\degree =x ,\;$则 $ x^3 - 3x + 1 =0,$

然后再用一个三次方程的判别式：$\Delta = \dfrac{q^2}{4} +\dfrac{p^3}{27}$，它不是有理数，

所以$2\sin 10\degree$不是有理数，那么$\sin 10\degree$也就不是有理数。

---

$$

例6：

证明平面直角坐标系内不存在三个顶点都是整点的正三角形。

出乎意料的简单！

假设正三角形为$\triangle OBC$ ，O为原点，B、C都是整点，B在上，C在下，

则BO与y轴、CO与x轴的夹角的正切值都是分数。（自己想想为什么？

那么根据和差角公式：$\tan (\alpha+\beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$，这两个夹角的和的正切值一定是分数，余切值也一定是分数。

再根据诱导公式：$\tan (\dfrac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$，中间那个角的正切值也一定是分数。

又因为$\tan 60\degree = \sqrt{3}$，是无理数，所以矛盾。

---

$$

例7：

解方程：$\sin ^7 x + \dfrac{1}{\sin ^3 x} = \cos ^7 x + \dfrac{1}{\cos ^3 x}$

肉眼可见第一种情况：$\sin x = \cos x ,\;x = 45\degree$或$x = 135\degree . $

那如果不等呢？

首先移项：$\dfrac{1}{\sin ^3 x} - \dfrac{1}{\cos ^3 x} = \cos ^7 x - \sin ^7 x,$

通分：$\dfrac{\cos ^3 x - \sin ^3 x}{\sin ^3 x\cos ^3 x} = \cos ^7 x - \sin ^7 x .$

接下来的操作看好了！

由$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$得，

左侧是$\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos ^2 x + \cos x \sin x + \sin ^2 x)}{\sin ^3 x\cos ^3 x};$

由$x^k-y^k=(x-y)*(x^{k-1}y+x^{k-2}y^2+x^{k-3}y^3+……+x^3y^{k-3}+x^2y^{k-2}+xy^{k-1})$得，

右边是

$(\cos x - \sin x)(\cos ^6 x + \cos ^5x \sin x + \cos ^4x\sin ^2x + \cos ^3x\sin ^3x + \cos ^2x\sin ^4 x+ \cos x\sin ^5x)$

然后两边同时除以$\cos x - \sin x$得，

$\footnotesize\dfrac{\cos ^2 x + \cos x \sin x + \sin ^2 x}{\sin ^3 x\cos ^3 x} = \cos ^6 x + \cos ^5x \sin x + \cos ^4x\sin ^2x + \cos ^3x\sin ^3x + \cos ^2x\sin ^4 x+ \cos x\sin ^5x$

$\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 ,\;\therefore \footnotesize\dfrac{\cos x \sin x + 1}{\sin ^3 x\cos ^3 x} = \cos ^6 x + \cos ^5x \sin x + \cos ^4x\sin ^2x + \cos ^3x\sin ^3x + \cos ^2x\sin ^4 x+ \cos x\sin ^5x$

这个恶心的式子怎么办呢？

设$t=\sin x \cos x$

则和平方公式得$\cos ^4x + \sin ^4x = (\cos ^2x + \sin ^2x)^2 - 2\cos x \sin x = 1-2t ,$

立方和公式得$\cos ^6x + \sin ^6x = (\cos ^2x + \sin ^2x)(\cos ^4 x -2\cos ^2x \sin ^2 x + \sin ^4 x) = 1 - 3t^2,$

$\therefore$ 左侧 $=\dfrac{1+t}{t^2}$，

右侧$= \cos ^6x+ \sin ^6x + \cos x\sin x(\cos ^4x + \sin ^4x)+\cos^2x\sin^2x(\cos^x+\sin^x)+\cos^3x\sin^3x$

$= 1-t^3 + t(1-t^2) + t^2+t^3 = -t^3 -2t^2 + t+1$

$\therefore \dfrac{1+t}{t^2} = -t^3 -2t^2 + t+1 ,\;$化简得$-t^6-2t^5+t^4+t^3-t = 1.$

$\tiny\textsf{这个Latex累死我了QWQ}$

然鹅$|t| \leq \dfrac{1}{2},\;t_{max} = \dfrac{1}{2},\;$代入得 $|-t^6-2t^5+t^4+t^3-t|\leq 1,\;$所以不存在。

$\therefore x = 45\degree$或$x = 135\degree . $

---

$$

这里是帮你算好的三角函数值哦qwq

考场上别忘了构造法awa

	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$15\degree$	$\dfrac{\sqrt{6}- \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$
$22.5\degree$	$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$
$36\degree$	$\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}$
$72\degree$	$\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}$

---

$$

附录：

1.画图软件：Desmos（ 几何区 )

2.参考资料：《平几大典——60与正三角形》 +（不方便展示的材料）

3.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$