三角函数
Chapter 1. 特殊的三角函数值
本章节不允许使用初中范围外的知识!
例1:求tan15°.
这是经典题了,方法就是作30°.
易得 tan15° = 2−3.
例2:求tan22.5°.
有了第一题,这一题也很简单啦awa
易得 tan22.5° = 2−1.
例3:求cos36°、cos72°.
众所周知,顶角或底角为36°的等腰三角形,
都可以用一条线段分成一个顶角为36°的等腰三角形和一个底角为36°的等腰三角形。
我们就构造一个底角为36°的等腰三角形△ABC,然后作出这条线段AD,设他为x。
然后设AB=kx,则AC=DC=kx;
△ABD∼△CBA,∴BC=k2x,DC=BC−BD=k2x−x.
∴k2x−x=kx,解得k=25−1.
之后就是两条垂线的事啦awa
最终cos36°=45+1,cos72°=45−1.
小拓展!
黄金分割比25−1,我们用Φ 表示。
顶角为 36° 的等腰三角形中,三边之比为 Φ:Φ:1 ,这就是它为什么叫“黄金三角形”awa
底角为 36° 的等腰三角形中,三边之比为 1:1:Φ ,平几大典的编辑给它起了个名字“白金三角形”qwq
Chapter 2. 三角函数的特殊题目
例5:
证明sin10° 为无理数。
各位都知道有个二倍角公式,
但你知道三倍角公式吗?
sin3α=3sinα−4sin3α
∴3sin10°−4sin310°=sin30°=21
−8sin310°+6sin10°−1=0
设2sin10°=x,则 $ x^3 - 3x + 1 =0,$
然后再用一个三次方程的判别式:Δ=4q2+27p3,它不是有理数,
所以2sin10°不是有理数,那么sin10°也就不是有理数。
例6:
证明平面直角坐标系内不存在三个顶点都是整点的正三角形。
出乎意料的简单!
假设正三角形为△OBC ,O为原点,B、C都是整点,B在上,C在下,
则BO与y轴、CO与x轴的夹角的正切值都是分数。(自己想想为什么?
那么根据和差角公式:tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ,这两个夹角的和的正切值一定是分数,余切值也一定是分数。
再根据诱导公式:tan(2π−α)=cotα,中间那个角的正切值也一定是分数。
又因为tan60°=3,是无理数,所以矛盾。
例7:
解方程:sin7x+sin3x1=cos7x+cos3x1
肉眼可见第一种情况:sinx=cosx,x=45°或$x = 135\degree . $
那如果不等呢?
首先移项:sin3x1−cos3x1=cos7x−sin7x,
通分:sin3xcos3xcos3x−sin3x=cos7x−sin7x.
接下来的操作看好了!
由x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)得,
左侧是sin3xcos3x(cosx−sinx)(cos2x+cosxsinx+sin2x);
由xk−yk=(x−y)∗(xk−1y+xk−2y2+xk−3y3+……+x3yk−3+x2yk−2+xyk−1)得,
右边是
(cosx−sinx)(cos6x+cos5xsinx+cos4xsin2x+cos3xsin3x+cos2xsin4x+cosxsin5x)
然后两边同时除以cosx−sinx得,
sin3xcos3xcos2x+cosxsinx+sin2x=cos6x+cos5xsinx+cos4xsin2x+cos3xsin3x+cos2xsin4x+cosxsin5x
cos2x+sin2x=1,∴sin3xcos3xcosxsinx+1=cos6x+cos5xsinx+cos4xsin2x+cos3xsin3x+cos2xsin4x+cosxsin5x
这个恶心的式子怎么办呢?
设t=sinxcosx
则和平方公式得cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2−2cosxsinx=1−2t,
立方和公式得cos6x+sin6x=(cos2x+sin2x)(cos4x−2cos2xsin2x+sin4x)=1−3t2,
∴ 左侧 =t21+t,
右侧=cos6x+sin6x+cosxsinx(cos4x+sin4x)+cos2xsin2x(cosx+sinx)+cos3xsin3x
=1−t3+t(1−t2)+t2+t3=−t3−2t2+t+1
∴t21+t=−t3−2t2+t+1,化简得−t6−2t5+t4+t3−t=1.
这个Latex累死我了QWQ
然鹅∣t∣≤21,tmax=21,代入得 ∣−t6−2t5+t4+t3−t∣≤1,所以不存在。
∴x=45°或$x = 135\degree . $
这里是帮你算好的三角函数值哦qwq
考场上别忘了构造法awa
|
sin |
cos |
tan |
15° |
46−2 |
46+2 |
2−3 |
22.5° |
22−2 |
22+2 |
2−1 |
36° |
410−25 |
45+1 |
5+110−25 |
72° |
410+25 |
45−1 |
5−110+25 |
附录:
1.画图软件:Desmos( 几何区 )
2.参考资料:《平几大典——60与正三角形》 +(不方便展示的材料)
3.转载请注明出处 (虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD)