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【数学】“被赚翻”模型

2020-02-28 13 min read # 【数学】

 倍长旋转加翻折模型\Huge\textsf{ 倍长旋转加翻折模型}

顾名思义，就是一幅图里同时用上倍长中线、旋转、翻折/三线合一 的题目。

见的比较少，但是很有趣awa

上题！

【例1】《平几大典——60°与正三角形》 23题\Large\texttt{【例1】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 23题}

AB=AC,∠BPC+∠ACB=180°,BD=CDAB=AC,\angle BPC+\angle ACB =180\degree,BD=CD 求证：AP=PDcos∠ACB.AP=\frac{PD}{cos\angle ACB}.

无从下手？想想这个模型的名字！

证：

倍长：倍长PD⇒△PDB≅△EDC⇒CE=BP\color{#FF416C}\textsf{倍长：} \color{grey} \textsf{倍长} PD \Rightarrow \triangle PDB \cong \triangle EDC \Rightarrow CE = BP

旋转：旋转△ABP至△ACQ⇒CQ=BP,  AQ=AP,  ∠PAQ=∠BAC\color{#FF416C}\textsf{旋转：} \color{grey} \textsf{旋转} \triangle ABP \textsf{至} \triangle ACQ \Rightarrow CQ=BP,\; AQ=AP,\; \angle PAQ = \angle BAC

倒角易得：∠PCE=∠PCQ\angle PCE = \angle PCQ

∴△PCE≅△PCQ（翻折）\therefore \triangle PCE \cong \triangle PCQ \color{#FF416C}\textsf{（翻折）}

∴PQ=PE=2PD=2QH\therefore PQ=PE=2PD=2QH

∴PDAP=QHAQ=cos⁡∠AQH=cos(90°−12∠PAQ)=cos(90°−12∠BAC)=cos⁡∠ACB\therefore \frac{PD}{AP}=\frac{QH}{AQ}=\cos \angle AQH =cos(90\degree -\frac{1}{2}\angle PAQ)=cos(90\degree -\frac{1}{2}\angle BAC)=\cos \angle ACB

即 PDAP=cos⁡∠ACB\frac{PD}{AP}=\cos \angle ACB

∴AP=PDcos⁡∠ACB\therefore AP=\frac{PD}{\cos \angle ACB}.

Q.E.D.\textrm{Q.E.D.}

注1：本题目前有3种解法，此为其中一种。\scriptsize\textsf{注1：本题目前有3种解法，此为其中一种。}

注2：B,P,Q并不共线，只是图里画得像。\scriptsize\textsf{注2：B,P,Q并不共线，只是图里画得像。}

注3：第一幅图里AC上的中点是我不小心点上去的，懒得改了XD\scriptsize\textsf{注3：第一幅图里AC上的中点是我不小心点上去的，懒得改了XD}

注4：《平几大典》是好书。\scriptsize\sout\textsf{注4：《平几大典》是好书。}

【例2】《平几大典——60°与正三角形》 20题\large\texttt{【例2】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 20题}

加强：多次翻折\color{red}\textsf{加强：多次翻折}

如图，正 △ACB,∠ABM=∠CBM,∠ACN=∠BCN,BP=CP,MP⊥NP,\triangle ACB,\angle ABM = \angle CBM , \angle ACN = \angle BCN ,BP=CP,MP \perp NP,

求证：∠MAN=30°.\angle MAN = 30 \degree .

证：

倍长：倍长PM⇒△PMB≅△PDC⇒BM=CD\color{#FF416C}\textsf{倍长：} \color{grey} \textsf{倍长} PM \Rightarrow \triangle PMB \cong \triangle PDC \Rightarrow BM = CD

旋转：旋转△ABM至△ACE⇒CE=BM=CD,AM=AE\color{#FF416C}\textsf{旋转：} \color{grey} \textsf{旋转} \triangle ABM \textsf{至} \triangle ACE \Rightarrow CE=BM=CD ,AM=AE

易得 △PMN≅△PDN（翻折）⇒MN=ND\triangle PMN \cong \triangle PDN\color{#FF416C}\textsf{（翻折）} \color{grey} \Rightarrow MN=ND

倒角易得：∠NCD=∠NCE\angle NCD= \angle NCE

∴△NCD≅△NCE（翻折）⇒NE=ND=MN\therefore \triangle NCD \cong \triangle NCE \color{#FF416C}\textsf{（翻折）}\color{grey} \Rightarrow NE=ND=MN

∴△MAN≅△EAN（翻折）\therefore \triangle MAN \cong \triangle EAN \color{#FF416C}\textsf{（翻折）}

∴∠MAN=∠EAN=30°.\therefore \angle MAN = \angle EAN = 30 \degree .

Q.E.D.\textrm{Q.E.D.}

小拓展！\large\textsf{小拓展！}

如果正三角形改成等腰直角三角形呢?

各位可以先猜一猜结论。

做法是一样的awa结论是∠MAN=45°.\angle MAN = 45\degree.

这样我们就出了通式！∠BAC=2∠MAN.\angle BAC = 2\angle MAN.

【例3】《平几大典——60°与正三角形》 54题第(1)问\large\texttt{【例3】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 54题第(1)问}

加强：按边旋转\color{red}\textsf{加强：按边旋转}

如图，正△ABC,  BF=AE,  DE=DC,\triangle ABC ,\; BF=AE,\; DE=DC,

求 ∠AFD.\angle AFD.

解：

倍长：倍长AD⇒△ADE≅△CDQ⇒CQ=AE=BQ,  AD=DQ,  ∠E=∠DCQ\color{#FF416C}\textsf{倍长：} \color{grey} \textsf{倍长} AD \Rightarrow \triangle ADE \cong \triangle CDQ \Rightarrow CQ = AE = BQ ,\; AD = DQ ,\; \angle E = \angle DCQ

∠E+∠ECA=∠BAC=60°,  ∴∠DCQ+∠ECA=60°,\angle E + \angle ECA = \angle BAC = 60 \degree , \;\therefore \angle DCQ + \angle ECA = 60 \degree ,

即 ∠ACQ=60°=∠B\angle ACQ = 60 \degree = \angle B

又 ∵AB=AC,BF=CQ\because AB = AC,BF = CQ

∴△ABF≅△ACQ（旋转）\therefore \triangle ABF \cong \triangle ACQ \color{#FF416C}\textsf{（旋转）}

∴AF=AQ,  ∠FAQ=60°,\therefore AF = AQ, \;\angle FAQ = 60 \degree , 易得 △FAQ\triangle FAQ 为正三角形。

又 ∵AD=DQ,  ∴∠AFD=∠QFD=12∠AFQ=30°.（翻折/三线合一）\because AD = DQ ,\;\therefore \angle AFD = \angle QFD = \frac{1}{2}\angle AFQ = 30\degree .\color{#FF416C}\textsf{（翻折/三线合一）}

看累了？来张图洗洗眼睛吧qwq

【例4】《平几大典——60°与正三角形》 53题\large\texttt{【例4】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 53题}

加强：构造中点 + 善用相似\color{red}\textsf{加强：构造中点 + 善用相似}

如图，正 △ABC,  ∠BKC=120°,  PC=PK,  CK=2,\triangle ABC ,\; \angle BKC = 120 \degree , \; PC = PK,\; CK = 2,

求 BK.BK.

作BCBC中点GG，由模板得

△BGW≅△CGK（倍长）,\triangle BGW \cong \triangle CGK \color{#FF416C}\textsf{（倍长）} \color{black},

△AMB≅△AKC（旋转）,\triangle AMB \cong \triangle AKC \color{#FF416C}\textsf{（旋转）} \color{black},

△BMK≅△BWK（翻折）,\triangle BMK \cong \triangle BWK \color{#FF416C}\textsf{（翻折）} \color{black},

倒角易得 ∠BKG=∠BCK,  ∴△BKG∼△BCK,\angle BKG = \angle BCK , \; \therefore \triangle BKG \sim \triangle BCK,

∴BK2=BG×BC=12BC2\therefore BK^{2} = BG \times BC=\frac{1}{2}BC^{2}

∠HKC=180°−∠BKC=60°,  且CK=2,\angle HKC= 180\degree - \angle BKC=60\degree,\; \textsf{且}CK=2,

∴KH=1,  HC=3,  BH=BK+1\therefore KH=1,\; HC = \sqrt{3},\; BH=BK+1

勾股定理得 BC2=(BK+1)2+3BC^2 = (BK+1)^2 +3

∴BK2=12[(BK+1)2+3]\therefore BK^{2} = \frac{1}{2}[(BK+1)^2 +3]

解得 BK=1+5.BK = 1+ \sqrt{5}.

【例5】狗 粮 题\large\texttt{【例5】狗 粮 题}

如图，AC=EC,  DE=DB,  ∠ACE+∠BDE=180°,MA=MB,  AC=EC,\;DE=DB,\;\angle ACE+\angle BDE = 180\degree,MA=MB,\;

求证：∠CMD=90°.\angle CMD = 90\degree.

证：

倍长：倍长CM⇒△AMC≅△BMF⇒CA=CE=BF,  CM=FM\color{#FF416C}\textsf{倍长：} \color{grey} \textsf{倍长} CM \Rightarrow \triangle AMC \cong \triangle BMF \Rightarrow CA = CE = BF ,\; CM = FM

∠E=∠A+∠ACE−∠AGE\angle E=\angle A+\angle ACE-\angle AGE

=∠FBM+(180°−∠BDG)−∠BGD=\angle FBM + (180\degree - \angle BDG ) -\angle BGD

=∠FBM+∠DBG+∠BGD−∠BGD=\angle FBM + \angle DBG + \angle BGD - \angle BGD

=∠FBM+∠DBG=∠DBF=\angle FBM + \angle DBG =\angle DBF

∴∠E=∠DBF\therefore \angle E = \angle DBF

又 ∵BD=ED,  BF=EC,\because BD = ED,\;BF = EC,

∴△DEC≅△DBF（旋转）,  ∴DC=DF\therefore \triangle DEC \cong \triangle DBF \color{#FF416C}\textsf{（旋转）}\color{grey},\;\therefore DC = DF

易得 △DCM≅△DFM  (SSS)（翻折）\triangle DCM \cong \triangle DFM\;(SSS) \color{#FF416C}\textsf{（翻折）}

∴∠DMC=∠DMF=180°∗12=90°.\therefore \angle DMC =\angle DMF = 180\degree * \frac{1}{2} = 90\degree .

Q.E.D.\textrm{Q.E.D.}

至于这道题为什么叫狗粮题呢？

在此送出汽油和火把，祝他们的恋爱红红火火！（((((

【例6】\large\texttt{【例6】}

如图，正方形ABCD,  DEFG,  H  ABCD,\;DEFG,\;H\;为BFBF中点，求证：△AHD\triangle AHD为等腰直角三角形。

证：

倍长：\color{#FF416C}\textsf{倍长：}倍长AHAH至Q,  Q,\;连接FQ,  EQ,  AH,FQ,\;EQ,\;AH,

则△AHB≅△QHF.\triangle AHB \cong \triangle QHF.

∴AB=AD=FQ,  AB∥FQ∥DC.\therefore AB = AD = FQ,\;AB\parallel FQ\parallel DC.

∠ADE+∠CDG=180°,  \angle ADE + \angle CDG = 180\degree ,\;

∵CD∥FQ,  ∴∠CDE+∠DEF+∠EFQ=360°,  \because CD \parallel FQ,\;\therefore\angle CDE + \angle DEF + \angle EFQ = 360\degree ,\;易得∠CDG+∠EFQ=180°,  \angle CDG + \angle EFQ = 180\degree,\;

∴∠ADE=∠EFQ.\therefore \angle ADE = \angle EFQ .

又∵AD=GF,  DE=FE,  ∴△ADE≅△QFH  （旋转）.\because AD = GF,\;DE = FE ,\;\therefore\triangle ADE \cong \triangle QFH\;\color{#FF416C}\textsf{（旋转）}.

由全等得∠1=∠3,  ∠3+∠2=90°,  ∴∠1+∠2=90°,  \angle 1 = \angle 3,\;\angle 3+ \angle 2 = 90\degree ,\;\therefore \angle 1+ \angle 2 = 90\degree ,\;即∠AEQ=90°,  \angle AEQ = 90\degree ,\;

又∵AE=QE,  ∴△AEQ\because AE = QE ,\;\therefore \triangle AEQ为等腰直角三角形，HH为中点，

所以△AHE\triangle AHE
也是等腰直角三角形（翻折/三线合一）\color{#FF416C}\textsf{（翻折/三线合一）}！

更多关于此题的内容请看这里qwq\scriptsize\textsf{更多关于此题的内容请看这里qwq}

总结！\huge\textsf{总结！}

Summary!\texttt{Summary!}

适用范围：【玄】\large\textsf{适用范围：}\color{#FF416C}\textsf{【玄】}

通常用于题目中有个三角形看起来能旋转、还有条边看起来能倍长的情况。

其实这个适用范围很玄学，有的看起来不符合要求的可以硬生生构造中点，有的看起来符合要求的却不能用XD

这就要看图感了qwq

附录：

1.画图软件：Desmos（ 几何区 ）

2.参考资料：《平几大典——60与正三角形》

3.转载请注明出处 （虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}

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