3x+4y=8,x>0,y>0,求xy的最大值。
法<1>
3x+4y=8⇒y=48−3x.
xy=3x∗48−3x=424x−9x2
x=−2ab=−18−24=34时,xy最大,为34.
法<2>
3x+4y≥23x∗4y=43xy
43xy≤8⇒xy≤34.
法<3>
设xy=z,则3x∗4y=12xy=12z
∴{3x∗4y=12z,3x+4y=8
∴3x和4y是方程a2−8a+12z的两根,且Δ≥0
Δ=(−8)2−4∗1∗12z=64−48z
∴64−48z≥0,z≤34,即xy≤34.
法<4>
设3x=4+m,4y=4−m
则12xy=(4+m)(4−m)=16−m2,
xy=1216−m2.
当m=0时,xy取到最大值为34.
那就有人会问了:为什么不拆成别的?
那我们再来一次:设3x=3+m,4y=5−m
则12xy=(3+m)(5−m)=−m2+2m+15,
xy=12−m2+2m+15.
当m=1时,xy取到最大值为34.
拆法与结果没有关系,只是拆成4+m与4−m可以消去一次项,便于口算。
法<5>
3x+4y=8⇒长为1.5x,宽为2y的矩形周长为8
求xy最大值⇒ 求矩形面积最大值。
矩形为正方形时面积最大,
∴1.5x=2y,
代回去得8y=8,y=1,x=34,xy=34.
参考
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