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$3x+4y=8,x>0,y>0,$求$xy$的最大值。

$\texttt{法<1>}$

$3x+4y =8 \Rightarrow y=\dfrac{8-3x}{4}.$

$xy = 3x*\dfrac{8-3x}{4} = \dfrac{24x-9x^2}{4}$

$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-24}{-18}=\dfrac{4}{3}$时,$xy$最大，为$\dfrac{4}{3}.$

$\texttt{法<2>}$

$3x+4y \geq 2\sqrt{3x*4y} = 4\sqrt{3xy}$

$4\sqrt{3xy}\leq 8 \Rightarrow xy\leq \dfrac{4}{3}.$

$\texttt{法<3>}$

设$xy =z ,$则$3x*4y = 12xy =12z$

$\therefore \begin{cases}3x*4y=12z,\\3x+4y =8\end{cases}$

$\therefore 3x$和$4y$是方程$a^2-8a+12z$的两根，且$\Delta \geq 0$

$\Delta = (-8)^2 -4*1*12z = 64-48z$

$\therefore 64 - 48z \geq 0,z \leq \dfrac{4}{3} ,$即$xy \leq \dfrac{4}{3}.$

$\texttt{法<4>}$

设$3x=4+m,4y=4-m$

则$12xy = (4+m)(4-m)=16-m^2,$

$xy = \dfrac{16-m^2}{12}.$

当$m=0$时，$xy$取到最大值为$\dfrac{4}{3}.$

那就有人会问了：为什么不拆成别的？

那我们再来一次：设$3x=3+m,4y=5-m$

则$12xy = (3+m)(5-m)=-m^2+2m+15,$

$xy = \dfrac{-m^2+2m+15}{12}.$

当$m=1$时，$xy$取到最大值为$\dfrac{4}{3}.$

拆法与结果没有关系，只是拆成$4+m$与$4-m$可以消去一次项，便于口算。

$\texttt{法<5>}$

$3x + 4y=8 \Rightarrow$长为$1.5x$，宽为$2y$的矩形周长为8

求$xy$最大值$\Rightarrow$ 求矩形面积最大值。

矩形为正方形时面积最大，

$\therefore 1.5x = 2y,$

代回去得$8y = 8 ,y=1, x=\dfrac{4}{3},xy= \dfrac{4}{3}.$

参考

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